Urodził się 2 kwietnia 1948 w Suwałkach. Był wychowankiem Wigier Suwałki, a w pierwszym zespole tej drużyny grał w latach 1964-1968. Następnie został zawodnikiem Włókniarza Białystok do 1971, w którym to roku, przeszedł do I ligowej Gwardii Warszawa. Następnym klubem od roku 1974 do końca kariery piłkarskiej w Polsce, gdzie "rządził i dzielił" była pierwszoligowa Odra Opole, do której został sprowadzony przez Antoniego Piechniczka. Z "Odrą" zdobył Puchar Ligi w 1977 roku dający prawo występu w Pucharze UEFA.
Kwaśniewski był podporą drużyny opolskiej w trakcie kadencji Antonie Piechniczka w "Odrze" w latach 1974-1979. O występach w "Odrze" i atmosferze w zespole opowiadał następująco: " Jak tu nie trenować skoro trener (A.Piechniczek przyp. Seba) bierze udział we wszystkich zajęciach. Razem z nami biega po lesie i jeszcze dyktuje tempo, razem gra w piłkę, na nartach jeździ tak samo dobrze jak Wojtek Tyc, który jest przecież góralem."
W sezonie 1977/1978 przed Mistrzostwami Świata w Argentynie uczestniczył we wszystkich zgrupowaniach kadry Jacka Gmocha. Miał już uszyty garnitur i spakowane walizki przed wyjazdem reprezentacji Polski na te mistrzostwa. W ostatniej chwili Jacek Gmoch i kilku działaczy dokonało zmiany w składzie i miejsce Kwaśniewskiego zajął Roman Wójcicki (już na mistrzostwach o tę zamianę do trenera miało pretensje kilku starszych zawodników).
Zbigniew Kwaśniewski rozegrał w 1978 roku dwa mecze w I reprezentacji Polski, w wygranych meczach z Luksemburgiem (3:1) i Grecją (5:2). Debiut miał miejsce w towarzyskim spotkaniu przeciwko amatorom z Luksemburga 22 marca 1978 r. a Kwaśniewski w drugiej części spotkania zastąpił na boisku Henryka Kasperczaka. Drugie spotkanie przeciwko Grecji, w którym to Kwaśniewski również wystąpił miało miejsce 5 kwietnia 1978 r. w Poznaniu. Tym razem Kwaśniewski zastąpił na placu gry najznakomitszego rozgrywającego w historii polskiej piłki nożnej słynnego Kazimierza Deynę, który w owym spotkaniu zdobył dwie bramki.
Nie przebił się na stałe do reprezentacji ponieważ w czasie gdy Kwaśniewski błyszczał, w kraju był jeden lepszy rozgrywający od niego - wspomniany Kaimierz Deyna. Kwaśniewski był wybornym technikiem, charakteryzującym się bardzo dokładnymi podaniami oraz precyzyjnymi strzałami.
Kwaśniewski wraz z Gwardią Warszawa w sezonie 1972/1973 grał w Europejskim Pucharze Zdobywców Pucharu w I rundzie Gwardia wyeliminowała Ferencvaros Budapeszt. W II rundzie odpadła po remisie (1:1) w Warszawie i przegranym meczu (0:1) z Feyenoordem w Rotterdamie.Kwaśniewskiego trenowali m.in. Roman Racz w Wigrach, Bernard Dryll we Włókniarzu, Ryszard Koncewicz w Gwardii, Antoni Piechniczek w Odrze.Karierę piłkarską zakończył w klubach polonijnych w USA, gdzie do chwili obecnej mieszka.
Trenerzy i zawodnicy o Kwaśniewski:
Antoni Piechniczek (1983)(trener Zbyszka w Odrze Opole) ...w swojej trenerskiej karierze spotkałem kilku piłkarzy, którzy jak Kwaśniewski- debiutowali w ekstraklasie w wieku 27 lat tylko dlatego, że urodzili się z daleka od renomowanych piłkarskich ośrodków. A Kwaśniewski był przecież nie mniej utalentowany niż Lubański lub Deyna, lecz czy mógł rozwinąć swój talent w Suwałkach. (G.Stański, Mundialowi dziennik Antoniego Piechniczka, Warszawa,1982.)
Józef Młynarczyk - kolega Zbyszka Kwaśniewskiego z Odry Opole (1983)- Pytanie dziennikarza- kto był liderem zespołu, tym którego słuchaliście? - J.Młynarczyk - Wszyscy darzyli sympatią i zaufaniem i słuchali Zbyszka Kwaśniewskiego. Był to piłkarz od którego zaczynała się większość akcji w Odrze. On kierował zespołem na boisku. To był bezbłędny technicznie piłkarz...
Józef Mudarewicz - kolega Z. Kwaśniewskiego z Włókniarza Białystok. ..Ot choćby Zbyszek Kwaśniewski. Przecież to artysta z brazylijską "kiwką". On potrafił w budce telefonicznej "założyć siatkę" przeciwnikowi. Szkoda tylko że tak późno trafił do wielkiej piłki...